Wie sieht das rechtlich aus?

Könnt ihr mir bitte sagen, wie das gehandhabt werden würde:

Ich bin jetzt noch bis Ende Juni bei meinem alten Dienstgeber angestellt, bin dienstfrei gestellt und beziehe mein Gehalt. Ab Juli würde ich mich arbeitslos melden (falls ich bis dato noch nichts passendes gefunden haben sollte) und würde dann ca. 6 Monate vom Arbeitsamt Geld beziehen.

Nun meine Frage... was wäre, wenn ich jetzt eine Tätigkeit annehmen würde im Ausmaß von 10 Wochenstunden und diese Bezahlung unter der Geringfügigkeitsgrenze (377... Euro) wäre. Müsste ich mich dann nicht gleich bei meiner alten Firma abmelden und wie sieht das dann mit dem Arbeitslosengeld aus? Würde ich das vom AMS trotzdem bekommen?