Versicherung über KBG - ab Tag der Geburt?

Hallo ihr Lieben,

ich beschäftige mich damit, was ich nach der Geburt meines Knirpses (in 2 Monaten) so alles an Behördenwegen erledigen muss und mir bereitet das ganze ziemlich Kopfzerbrechen, jetzt ist es grad die Versicherung:

Wenn ich das richtig verstanden habe, werde ich ja durch den Bezug des KBG samt Kind krankenversichert sein, ja?
Bisher war ich immer mitversichert bei meinem Vater, da ich noch Studentin bin.
Da ich kein Wochengeld bekomme, werde ich das KBG gleich vom Tag der Geburt an beantragen. Aber die Meldung des Kindes bei der Sozialversicherung muss ja schon erfolgen, ehe der Antrag auf FBH und KBG gestellt wird. Wo versichere ich dann meinen Knirps mit, wenn ich selber noch mitversichert bin? Soll ich auf das KBG warten? Da habe ich Angst, dass das lange dauern würde und ich vorher mit dem Kleinen zum Arzt muss. Oder soll ich ihn bei meinen Eltern mitversichern lassen, um nicht aufs KBG warten zu müssen? (die Voraussetzung des gemeinsamen Haushalts mit meinen Eltern wäre erfüllt. Und bei meinem Verlobten, dem Vater des Kindes, mitversichern wäre etwas blöd, weil der nicht in Ö arbeitet --> grenzüberschreitender Fall, alles noch viel komplizierter...)